Transferir um blog WordPress de servidor pode virar uma dor de cabeça caso alguns cuidados não sejam tomados. Já tive alguns problemas com relação a isso e por isso montei este passo-a-passo.
É provável que algumas das etapas indicadas aqui sejam desnecessárias, mas vou mante-las por precaução.

Tarefas no antigo servidor

1. Atualize o seu blog pelo painel do wordpress com atenção, a opção em inglês costuma estar disponível, não vá se confundir.
2. Também costumo atualizar plugins, mas o tema que você está usando é melhor não atualizar, pode ocorrer a perda de algumas de suas configurações personalizadas.
3. Faça back-up do banco de dados pelo cPanel (gerenciador mais comum).
4. Faça back-up do conteúdo do site (com o wordpress) por FTP. Não recomendo utilizar a opção de back-up do cPanel para os arquivos (salvar todo o site).
5. Baixe a versão mais atualizada do wordpress.

Tarefas no novo servidor

1. Crie um novo banco de dados para seu blog e um novo usuário. Não precisa ser os mesmos do servidor anterior. Não esqueça de adicionar o usuário ao banco de dados e dar a ele todas as permissões.
2. Faça o upload do wordpress atualizado e inicie a instalação (alguns serviços de hospedagem, por motivos de segurança, não oferecem a opção de domínio temporário, nesse caso você terá que esperar a propagação dos DNS). Nem todo servidor tem como endereço do banco de dados “localhost”, fique atento. Coloque os nomes do novo banco de dados e usuário e prossiga com a instalação.
3. Entre no cPanel/phpmyadmin e elimine as tabelas que o wordpress criou com a instalação.
4. Importe o arquivo (sql) com as tabelas antigas.
5. Por FTP, faça o upload das pastas wp-content e wp-includes (que estavam no antigo servidor e você fez back-up) substituindo as da nova instalação.

Está feito.